Trọng tâm là gì? Công thức tính trọng tâm của tam giác

Trọng tâm của tam giác là một trong những kiến thức rất quan trọng và phổ biến trong những năm học phổ thông. Bài viết dưới đây, Quantrimang.com xin giới thiệu với các bạn các kiến thức liên quan tới trọng tâm tam giác, công thức tính trọng tâm tam giác, công thức tính tọa độ trọng tam giác, mời các bạn tham khảo để ứng dụng vào giải các bài toán trong quá trình học tập nhé.

Trọng tâm là gì?

• Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
• Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác.

Tính chất của trọng tâm trong tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Trọng tâm tam giác cân

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Trọng tâm tam giác đều

Cách tìm trọng tâm tam giác

Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

Bài tập về trọng tâm tam giác

Dạng 1: Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: frac{3}{2}BC" width="140" height="36" data-type="0" data-latex="BM + CN > frac{3}{2}BC" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=BM%20%2B%20CN%20%3E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DBC">.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó ta phải chứng minh frac{3}{2}BC" width="162" height="36" data-type="0" data-latex="frac{3}{2}BG + frac{3}{2}CG > frac{3}{2}BC" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DBG%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DCG%20%3E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DBC"> hay BCleft( 1 right)" width="143" height="20" data-type="0" data-latex="BG + CG > BCleft( 1 right)" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=BG%20%2B%20CG%20%3E%20BC%5Cleft(%201%20%5Cright)">

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy frac{3}{2}BC" width="140" height="36" data-type="0" data-latex="BM + CN > frac{3}{2}BC" class="lazy" data-src="https://tex.vdoc.vn?tex=BM%20%2B%20CN%20%3E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DBC">, (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD.

Chứng minh:

a) Ba điểm A, G, E thẳng hàng.

b) Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD

=> BC là trung tuyến của tam giác ABD.

Hơn nữa G ∈ BC và GB = 2GC

=>

=> G là trọng tâm tam giác ABD.

Lại có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A, G, E thẳng hàng.

b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABD

=> DG là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra DG đi qua trung điểm của cạnh AB (điều phải chứng minh).

Dạng 2: Chứng minh một điểm là trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AE = EG = GD. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có AD = AE + EG + GD mà AE = EG = GD nên AD = 3AE

Vì AD là đường trung tuyến và nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC.

a) Chứng minh G là trọng tâm tam giác EFC.

b) Tính các tỉ số

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta có BF = 2BE; BE = EF

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED

=> D là trung điểm của EF

=> CD là đường trung tuyến của tam giác EFC.

Vì K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến của tam giác EFC.

Tam giác EFC có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác EFC.

b) Ta có G là trọng tâm tam giác EFC nên

Dạng 3. Đường trung tuyến của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.

Chứng minh:

a) AD = BE = CF.

b) GA = GB = GC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta có BE; CF là các đường trung tuyến của tam giác ABC

=>

Vì AC = AB nên hay CE = BF.

Xét tam giác BCE và tam giác CBF có

BC chung; (do tam giác ABC cân ở A); CE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆BCE = ∆CBF (c.g.c)

=> BE = CF (2 cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có AD = BE.

Từ đó suy ra AD = BE = CF (điều phải chứng minh).

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Vì AD = BE = CF (theo chứng minh câu a) nên hay GA = GB = GC (điều phải chứng minh)

Bài 1:

Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Giải:

Bài 2:

Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Giải:

Tọa độ của trọng tâm tam giác trong mặt phẳng Oxy

Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3).

a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

b, Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: =(-2; 4) và =(-1; 3)

Do nên không cùng phương, suy ra A, B, C không thẳng hàng.

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G (1; ).

Ngoài khái niệm và các công thức về trọng tâm tam giác ở trên, các bạn có thể tìm hiểu thêm các kiến thức khác về tam giác như diện tích tam giác, chu vi tam giác, đường cao tam giác.