Công thức toán 12: Trọn bộ công thức và các dạng bài tập

Công thức là một phần quan trọng giúp việc giải toán nhanh hơn và đúng bản chất hơn. Chương trình toán 12 khép lại với khá nhiều công thức khó nhớ khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn học sinh tổng hợp toàn bộ công thức toán 12, từ đó giúp cho việc tra cứu và hệ thống lại chương trình học dễ nhớ hơn.

Phần 1. Công thức giải tích lớp 12

Chương 1. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số

1. Công thức đạo hàm

k’ = 0 với k là hằng số

(xα)’ = αxα-1 ⟶ (uα)’ = αuα-1.u’

(ex)’ = ex ⟶ (eu)’ = eu.u’

(ax)’ = ax.lna ⟶ (au)’ = au.lna.u’

(sinx)’ = cosx ⟶ (sinu)’ = u’.cosu

(cosx)’ = -sinx ⟶ (cosu)’ = -u’.sinu

2. Công thức khảo sát hàm số và các dạng toán

Xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính y’ = f’(x); cho y’ = 0 ⟶ tìm nghiệm x1, x2,…

Bước 3: Lập bảng biến thiên (nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y’ để tìm dấu của y’ trên khoảng đó).

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số đồng biến trên tập xác định ℝ

Hàm số nghịch biến trên tập xác định ℝ

Hàm nhất biến

Đạo hàm

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad - bc > 0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad - bc < 0

Điều kiện cực trị

Hàm số có điểm cực trị là (giả thiết là hàm số liên túc tại x0)

Nếu thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x = x0

Nếu thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x0

Cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c

Hàm số có hai cực trị

Để tìm điều kiện cho hàm số không có cực trị:

Bước 1: làm theo công thức (*)

Bước 2: phủ định kết quả

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

Cực trị hàm bậc bốn y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx

Điều kiện cực trị

Ba cực trị ab < 0

Một cực trị

Có cực trị a2 + b2 > 0

Cho A, B, C là ba điểm cực trị, ta có:

Tìm Max - Min trên đoạn

Tìm Max - Min của f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 1: Tính y’ = f’(x)

Tìm các nghiệm xi ∈ (a; b) khi cho f’(x) = 0

Bước 2: Tính các giá trị f(a), f(b) và f(xi),… (nếu có)

Bước 3: So sánh tất cả các giá trị trong bước 2 để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tìm Max - Min trên khoảng

Tìm Max - Min của f(x) trên đoạn (a; b)

Bước 1: Tính y’ = f’(x)

Tìm các nghiệm xi ∈ (a; b) khi cho f’(x) = 0

Bước 2: Tính các giá trị (nếu thay (a; b) bằng (-∞; +∞) thì ta tính thêm )

Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng

Đặc biệt

Nếu hàm f(x) đồng biến trên [a; b] thì

Nếu hàm f(x) nghịch biến trên [a; b] thì

3. Tiệm cận của hàm số

Tiệm cận đứng

+) Định nghĩa: (x hữu hạn, y vô hạn) ta có tiệm cận đứng x = x0. Lưu ý: điều kiện có thể được thay bằng (giới hạn bên trái) hoặc (giới hạn bên phải).

+) Cách tìm TCĐ: Nếu x = x0 là một nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số thì x = x0 chính là một TCĐ của đồ thị.

Tiệm cận ngang

+) Định nghĩa: (x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm cận ngang y = y0

+) Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng casio

Bước 1: Nhập hàm số vào máy

Bước 2:

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y0) thì ta kết luận TCN: y = y0.

Đồ thị hàm số với (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) có một TCĐ: và một TCN:

Nên nhớ đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang

4. Tìm tọa đồ giao điểm hoặc số giao điểm hai đồ thị

Xét hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2): f(x) = g(x) (*)

Bước 2: Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có), suy ra y1, y2,…

5. Phương trình tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)

Bước 1: Tính đạo hàm y’, từ đó có hệ số góc k = y’(x0)

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị dạng y = k(x - x0) + y0

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

Bước 1: Gọi M(x0; y0) là tiếp tuyến và tính đạo hàm y’

Bước 2: Cho y’(x0) = k, từ đó tìm được tiếp điểm (x0; y0)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến: y = k(x - x0) + y0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua A(xA; yA)

Bước 1: Tiếp tuyến có dạng: y = y’(x0)(x - x0) + y0 (*) với y0 = f(x0)

Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm được x0

Bước 3: Thay x0 tìm được vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Chương 2. Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

1. Công thức lũy thừa

Cho các số dương a, b và m, n ϵ ℝ. Ta có:

với n ∈ ℕ*

2. Công thức logarit

Cho các số a, b > 0, a ≠ 1. Ta có:

3. Hàm số lũy thừa

Dạng: với u là đa thức đại số.

Tập xác định:

Nếu α ∈ ℤ+ ⟶ u ∈ ℝ

Nếu α ∈ ℤ- ⟶ u ≠ 0

Nếu α ∉ ℤ+ ⟶ u > 0

Đạo hàm:

4. Hàm số mũ

Dạng: với

Tập xác định: D = ℝ

Đạo hàm:

Đặc biệt:

Sự biến thiên: y = ax

Nếu a > 1 thì hàm đồng biến trên ℝ.

Nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến trên ℝ

5. Hàm số logarit

Dạng: với

Đặc biệt:

a = ex ⟶ y = lnx;

a = 10 ⟶ y = logx = lgx.

Điều kiện xác định: u > 0

Đạo hàm:

Đặc biệt:

Sự biến thiên: y = loga x

Nếu a > 1 thì hàm đồng biến trên (0; +∞).

Nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến trên (0; +∞)

6. Đồ thị hàm số mũ

Ta thấy: ax ↓ ⇒ 0 < a < 1; bx ↓ ⇒ 0 < b < 1

Ta thấy: cx ↑ ⇒ c > 1; dx ↑ ⇒ d > 1

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng ax trước nên a > b

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng cx trước nên c > d

Vậy 0 < b < a < 1 < d < c

7. Đồ thị hàm số logarit

Ta thấy: logax ↓ ⇒ 0 < a < 1; logbx ↓ ⇒ 0 < b < 1

Ta thấy: logcx ↑ ⇒ c > 1; logdx ↑ ⇒ d > 1

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logbx trước nên b > a

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logdx trước nên d > c

Vậy 0 < a < b < 1 < c < d

8. Phương trình mũ

Dạng cơ bản: af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

Dạng logarit hóa:

af(x) = b ⇔ f(x) = logab

af(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab

9. Phương trình logarit

Dạng cơ bản: logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0

Dạng logarit hóa: logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab (không cần điều kiện)

10. Bất phương trình mũ

Dạng cơ bản:

af(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) (a > 1)

af(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) (0 < a < 1)

11. Bất phương trình logarit

logaf(x) ≥ logag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0 (a > 1)

logaf(x) ≥ logag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x) (0 < a < 1)

Chương 3. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng

1. Công thức nguyên hàm

+) ∫f(x)dx = F(x) + C ⇔ F’(x) = f(x)

∫k.f(x)dx = k∫f(x)dx

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

∫kdx = kx + C

1) ∫kdx = kx + C

∫2dx = 2x + C

∫(-3)dx = -3x + C

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2. Ứng dụng trong diện tích và thể tích

+) Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox, x = a, x = b thì có diện tích:

Khi xoay hình phẳng quanh Ox, ta được khối trụ tròn có thể tích:

+) Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b thì có diện tích:

Khi xoay hình phẳng quanh Ox, ta được khối trụ tròn có thể tích:

Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b. Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích S(x) (là hàm liên tục trên [a; b]). Thể tích khối này trên [a; b] là:

3. Ứng dụng trong công thức chuyển động

Xét hàm quảng đường S(t), hàm vận tốc v(t) và hàm gia tốc a(t). Ba hàm này sẽ biến thiên theo t.

S(t) = ∫v(t)dt ⇔ v(t) = S’(t)

v(t) = ∫a(t)dt ⇔ a(t) = v’(t)

Chương 4. Số phức

1. Khái niệm số phức

Số phức có dạng: z = a + bi với (i là đơn vị ảo). Ký hiệu tập số phức: ℂ

Thành phần

+) Phần thực: a

Nếu a = 0 thì z = bi được gọi là số thuần ảo

+) Phần ảo: b

Nếu b = 0 thì z = a là số thực

+) Khi a = b = 0 thì z = 0 vừa là số thuần ảo vừa là số thực

Hình học

+) Điểm M(a; b) biếu diễn cho z trên hệ trục Oxy.

+) Mô-đun:

Minh họa

2. Số phức liên hợp - Số phức nghịch đảo

Cho z = a + bi. Khi đó:

+) Số phức liên hợp của nó là

+) Số phức nghịch đảo là

Căn bậc hai

+) Căn bậc hai của a > 0 là

+) Căn bậc hai của a < 0 là

+) Căn bậc hai của số phức z = a + bi là hai số phức dạng ω = x + yi với

3. Phương trình bậc hai số phức

+) Phương trình z2 = a > 0 có hai nghiệm phức

+) Phương trình z2 = a < 0 có hai nghiệm phức

+) Phương trình az2 + bz + c = 0 với ∆ < 0 sẽ có hai nghiệm phức là

Phần 2. Công thức hình học 12

Chương 1. Khối đa diện

1. Công thức hình phẳng cơ bản

Tam giác vuông

AB2 + BC2 = BC2 (Định lí Pitago)

AB2 = BH.BC

AC2 = CH.BC

AH2 = BH.CH

(đối/ huyền)

(kề/ huyền)

(đối/ kề)

(kề/ đối)

Tam giác đều

Giả sử tam giác ABC đều có cạnh a, trọng tâm G, các đường cao (trùng với trung tuyến) gồm AH, BK

+) Đường cao:

+)

+) Diện tích:

Tam giác thường

Giả sử tam giác ABC có a = BC, b = AC, c =AB; các đường cao ha, hb, hc lần lượt ứng với cạnh a, b, c. Ký hiệu R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆

+) Định lí Sin:

+) Định lí Cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.

Diện tích:

(công thức Hê-Rông) với (nửa chu vi)

Hình vuông

Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của CD, AD; I là tâm hình vuông

+) Đường chéo:

nên I là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh hình vuông

+) Diện tích SABCD = (cạnh)2 = a2; chu vi p = 4a

+) Vì ∆ABN = ∆ ADM, ta chứng minh được: AM ⊥ BN

Hình chữ nhật

Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB = a, AD = b

+) Đường chéo:

nên I là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D

+) Diện tích SABCD = a.b; chu vi p = 2(a + b)

Hình thoi

Cho hình thoi ABCD có tâm I, cạnh bằng a

+) Đường chéo:

+) Diện tích

Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B = D = 60° (A = C = 120°) thì ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ∆ABC = ∆ACD.

AC = a và

2. Thể tích khối chóp

Hình chóp

Hình chóp tam giác đều

+) Tất cả cạnh bên bằng nhau

+) Đáy là tam giác đều cạnh a

+) SH ⊥ (ABC) với H là trọng tâm ∆ABC

+)

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

Tứ diện đều

Đây cũng là hình chóp tam giác đều, đặc biệt là cạnh bên bằng cạnh đáy. Thể tích

Hình chóp tứ giác đều

+) Tất cả cạnh bên bằng nhau

+) Đáy là hình vuông cạnh a

+) SO ⊥ (ABCD) với O là tâm hình vuông ABCD

+)

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Đáy là tam giác

+)

+) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Đáy là tứ giác đặc biệt

+)

+) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy

Đáy là tam giác

+) Đường cao h = SH cũng là đường cao của ∆SAB

+) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Đáy là tứ giác đặc biệt

+) Đường cao h = SH cũng là đường cao của ∆SAB

+) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

3. Thể tích khối lăng trụ

Hình lăng trụ thường

Hai đáy là hai hình giống nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song. Các cạnh bên song song và bằng nhau. Các mặt bên là các hình bình hành

Thể tích V = h.Sđ

Hình lăng trụ đáy là tam giác

V = AH. S∆ABC = AH. S∆A’B’C’

Hình lăng trụ đáy là tứ giác

V = AH. S∆ABCD = AH. S∆A’B’C’D’

Hình lăng trụ đứng

Các cạnh bên cùng vuông góc với hai mặt đáy nên mỗi cạnh bên cũng là đường cao của lăng trụ

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng và có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau

Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác

Thể tích V = h.Sđ với h = AA’ = BB’ = CC’

Hình lăng trụ đáy là tứ giác

Thể tích V = h.Sđ với h = AA’ = BB’ = CC’ = DD’

4. Hình hộp

Là lăng trụ có tất cả các mặt là hình bình hành

Thể tích V = h.Sđ

Hình hộp chữ nhật

Là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật

V = abc với a, b, c là ba kích thước khác nhau của hình hộp chữ nhật

Hình lập phương

Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau

V = a3 với a là cạnh của hình lập phương

Chương 2. Mặt trụ - Mặt nón - Mặt cầu

1. Mặt nón

Hình thành: Quay ∆ vuông SOM quanh trục SO, ta được mặt nón như hình trên với

Các yếu tố mặt nón

Đường cao: h = SO (SO cũng được gọi là trục của hình nón)

Bán kính đáy: r = OA = OB = OM

Đường sinh: l = SA = SB = SM

Góc ở đỉnh:

Thiết diện qua trục: ∆SAB cân tại S

Góc giữa đường sinh và mặt đáy:

Một số công thức

Chu vi đáy: p = 2πr

Diện tích đáy: Sđ = πr2

Thể tích: (liên tưởng khối chóp)

Diện tích xung quanh: Sxq = πrl

Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđ = πrl + πr2

2. Mặt trụ

Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO’, ta có mặt trụ như hình trên

Các yếu tố mặt trụ

Đường cao: h = OO’

Bán kính đáy: r = OA = OB = O’C = O’D

Đường sinh: l = AD = BC

Ta có: l = h

Trục (∆) là đường thẳng đi qua hai điểm O và O’

Thiết diện qua trục: là hình chữ nhật ABCD

Một số công thức

Chu vi đáy: p = 2πr

Diện tích đáy: Sđ = πr2

Thể tích khối trụ: V = h. Sđ = h.πr2

Diện tích xung quanh: Sxq = 2πr.h

Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2Sđ = 2πr.h + 2πr2

3. Mặt cầu

Hình thành: Quay đường tròn tâm I, bán kính quanh trục AB, ta có mặt cầu như hình vẽ

Một số công thức

Tâm I, bán kính R = IA = IB = IM

Đường kính AB = 2R

Thiết diện qua tâm mặt cầu: là đường tròn tâm I, bán kính R

Diện tích mặt cầu: S = 4πR2

Thể tích khối cầu:

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện - Mặt cầu nội tiếp đa diện

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa diện đó

Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện đó

Cách tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp

Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh dưới một góc vuông

Xét hình chóp có SA ⊥ (ABC) và

Ta có

Nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm SC, bán kính

Xét hình chóp có SA ⊥ (ABC) và ABCD là hình chữ nhật hoặc hình vuông

Ta có:

Suy ta mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm SC, bán kính

4. Hình chóp đều

Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và đường cao SH = h

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là

Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao SO = h

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Xét hình chóp có SA ⊥ (ABC) và SA = h; bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là rđ

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính

Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì

Nếu đáy là hình vuông cạnh a thì

Nếu đáy là hình chữ nhật cạnh a, b thì

Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy

Xét hình chóp có mặt bên (SAB) ⊥ (ABCD), bán kính ngoại tiếp là rđ, bán kính ngoại tiếp ∆SAB là rb, d = AB = (SAB) ∩ (ABCD)

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Chương 3. Hình học giải tích trong không gian

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau

Trục Ox: trục hoành, có vec-tơ đơn vị

Trục Oy: trục tung, có vec-tơ đơn vị

Trục Oz: trục cao, có vec-tơ đơn vị

Điểm O(0; 0) là gốc tọa độ

2. Tọa độ vec-tơ

Vec-tơ

Cho . Ta có:

cùng phương

3. Tọa độ điểm

. Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC), ta có:

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

4. Tích có hướng của hai vec-tơ

Định nghĩa

Cho , tích có hướng của và là

Tính chất

Điều kiện cùng phương của hai vec-tơ và là với

Điều kiện đồng phẳng của b avec-tơ , và là

Diện tích hình bình hành ABCD:

Diện tích tam giác ABC:

Thể tích khối hộp:

Thể tích tứ diện:

5. Phương trình mặt cầu

Dạng 1: (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính

Dạng 2: (S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính

Phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2 + b2 + c2 - d > 0

Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm M

Bước 1: Tính bán kính R = IM

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB

Bước 1: Tìm tâm I là trung điểm AB. Bán kính

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1

6. Phương trình mặt phẳng

Lưu ý: Vec-tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng là vec-tơ khác nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó

Mặt phẳng (P) qua M(x0; y0; z0) và có VTPT thì phương trình (P): a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng ax + by + cz + d = 0, mặt phẳng này có VTPT

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB và tính tọa độ

Bước 2: Phương trình mặt phẳng (P) qua I và có VTPT

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

Bước 1: Tính tọa độ và suy ra

Bước 2: Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có VTPT

Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng qua M và chứa đường thẳng d với M ∉ d

Bước 1: Chọn điểm A ∈ d và một VTCP . Tính

Bước 2: Phương trình mặt phẳng (P) qua I và có VTPT

Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c ≠ 0

Phương trình mặt phẳng được viết theo đoạn chắn

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0

Khi đó:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng (P) ax + by + cz + d1 = 0 và (Q) ax + by + cz + d2 = 0

Khi đó: với d1 ≠ d2

Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (P): a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và (Q): a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Góc giữa (P) và (Q) được tính:

Chú ý: 0° ≤ ((P);(Q)) ≤ 90°

7. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (P) a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và (Q) a2x + b2y + c2z + d2 = 0. Ta có

Lưu ý: các tỉ số trên có nghĩa khi mẫu khác 0

8. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt phẳng (P) ax + by + cz + d1 = 0 và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R

Trường hợp 1: d(I, (P)) > R ⇔ (P) và (S) không có điểm chung

Trường hợp 2: d(I, (P)) = R ⇔ (P) và (S) có một điểm chung. Khi đó ta nói (P) tiếp xúc (S) hoặc (P) là tiếp diện của (S)

Ta có: IM ⊥ (P) với M là tiếp điểm

Trường hợp 3: d(I, (P)) < R ⇔ (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn

Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính với IH = d(I; (P))

9. Phương trình đường thẳng

Đường thẳng d qua A(xA; yA; zA), VTCP có

Phương trình tham số d: với t là tham số

Phương trình chính tắc d: với u1.u2.u3 ≠ 0

Vec-tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d là vec-tơ khác , có giá nằm trên đường d hoặc song song với d

Lưu ý: Nếu có cặp vec-tơ khác không cùng phương sao cho thì d có VTCP là

10. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1, d2 với d1 qua M có VTCP và d2 qua N có VTCP

Bước 1:

⟶ Hai đường thẳng d1, d2 song song hoặc trùng nhau

⟶ Hai đường thẳng d1, d2 cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 2:

Kết luận

⟶ d1 ≡ d2 (Hai đường thẳng trùng nhau)

⟶ d1 || d2

⟶ d1 cắt d2

⟶ d1 và d2 chéo nhau

11. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0

Bước 1: Thay phương trình tham số d vào phương trình (P), ta được PT (*):

a(x0 + u1t) + b(y0 + u2t) + c(z0 + u3t) + d = 0

Bước 2: Giải PT (*) ta gặp 1 trong 3 trường hợp sau:

PT (*) vô nghiệm

PT (*) có 1 nghiệm

PT (*) có vô số nghiệm

Kết luận

⟶ d || (P)

⟶ d cắt (P) tại điểm có tọa độ (x0; y0; z0)

⟶ d ⊂ (P)

12. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng d (có phương trình tham số hoặc chính tắc)

Bước 1: Chọn điểm A ∈ d và một VTCP

Bước 2:

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có VTCP là

⟶ Ta có:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng (P) có VTPT

⟶ Ta có:

13. Hình chiếu và điểm đối xứng

Bài toán 1: Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (P).

Phương pháp giải

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) ⟶ Viết phương trình tham số của d với VTCP của d cũng là VTPT của (P)

Gọi H = d ∩ (P). Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta tìm được tọa độ H

Bài toán 2: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).

Phương pháp giải

Ta có H là trung điểm AA’ ⇒

Bài toán 3: Tìm hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

Phương pháp giải

Cách 1:

Gọi H (theo t) (dựa vào phương trình tham số của d)

⟶ Tìm được t = … ⟶ Tọa độ H

Cách 2:

Gọi (P) qua A và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d ⟶ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Gọi H = d ∩ (P). Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta tìm được tọa độ H

Bài toán 4: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.

Phương pháp giải

Ta có H là trung điểm AA’ ⇒

Ôn lại công thức quan trọng

Công thức lượng giác

Hệ thức cơ bản

Cung liên kết

Đối: α và -α

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan(-α) = -tanα

cot(-α) = -cotα

⟶ Cos đối

Bù: α và π - α

sin(π - α) = sinα

cos(π - α) = -cosα

tan(π - α) = -tanα

cot(π - α) = -cotα

⟶ Sin bù

Phụ: α và

⟶ Phụ chéo

Khác pi: π, π + α

sin(π + α) = -sinα

cos(π + α) = -cosα

tan(π + α) = tanα

cot(π + α) = cotα

⟶ Khác pi: tang, cotang

Khác

⟶ Khác pi chia 2: sin bạn cos

Công thức cộng

sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa

sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa

cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

Công thức nhân đôi, nhân ba

sin2α = 2sinα.cosα

sin3α = 3sinα - 4sin3α

cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α

cos3α = 4cos3α - 3cosα

Công thức hạ bậc

Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức biến đổi tích thành tổng

⟶ cos.cos thì cos cộng công cos trừ

⟶ sin.sin thì cos trừ trừ cos cộng

⟶ sin.cos thì sin cộng cộng sin trừ

Phương trình lượng giác

Đặc biệt:

Đặc biệt:

Tổ hợp - xác suất

Quy tắc cộng

Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta sẽ cộng các kết quả lại.

Quy tắc nhân

Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy

Hoán vị

Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp là Pn = n! với n ∈ ℕ

Cách tính: n! = 1. 2. … (n - 1)n

Quy ước sốc: 0! = 1

Chỉnh hợp

Chọn k phần tử từ n phần tử (không sắp xếp thứ tự) ta có số cách chọn là

Cách tính: với

Tổ hợp

Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp xếp thứ tự) ta được số cách chọn là

Cách tính: với

Xác suất

Công thức:

. Trong đó:

n(X): số phần tử của tập biến cố X

n(Ω): số phần tử của không gian mẫu

P(X): xác suất để biến cố X xảy ra với X ⊂ Ω

Tính chất

0 ≤ P(X) ≤ 1

P(⊘) = 0; P(Ω) = 1

với là biến cố đối của X

Khai triển nhị thức Newton

Khai triển dạng liệt kê: Trong các công thức bên, ta luôn có n ∈ ℕ, n ≥ 2

Đặc biệt

Hệ quả 1: (tức là thay x = 1 và (*))

Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x = -1 vào (*), ta có:

Khai triển tổng quát: Trong các công thức bên, ta luôn có n ∈ ℕ, n ≥ 2

Khai triển: . Số hạng tổng quát:

Phân biệt hệ số và số hạng

Nhớ rằng số hạng không chứa x ứng với α = 0

Cấp số cộng - Cấp số nhân

Cấp số cộng

+) Định nghĩa

Dãy số (un) được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 = un + d với n ∈ ℕ*

Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1, công sai d

+) Số hạng tổng quát

un = u1 + (n - 1)d với n ∈ ℕ*

+) Tính chất các số hạng

uk-1 + uk+1 = 2uk với k ∈ ℕ và k ≥ 2

+) Tổng n số hạng đầu tiên

Cấp số nhân

Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi un+1 = un.q với n ∈ ℕ*

Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1, công bội q

+) Số hạng tổng quát

un = u1.qn-1 với n ∈ ℕ*

+) Tính chất các số hạng

với k ∈ ℕ và k ≥ 2

+) Tổng n số hạng đầu tiên

với q ≠ 1